La etiqueta de React Router no está redirigiendo con el estado.

La aplicación debería redirigir a /dashboard cuando el usuario no sea nulo. El usuario está nulo en la primera representación, pero useEffect() debería recoger y almacenar los datos del usuario desde el almacenamiento local. Luego, el operador ternario debería activar y redirigir a la página de dashboard. Pero no está haciendo eso. Simplemente sigue mostrando la página de inicio de sesión en /login cada vez que la actualizo, incluso si hay datos en el almacenamiento local.

¿Qué estoy haciendo mal o cómo puedo solucionarlo?

const App = () => {
    const [user, setUser] = useState(null)

useEffect(() => {
    const loggedUserJSON = window.localStorage.getItem('loggedUser')

    if (loggedUserJSON) {
        const user = JSON.parse(loggedUserJSON)
        setUser(user)
        noteService.setToken(user.token)
    }
}, [])

return (
    <router>
        <switch>
            <route exact="" path='/'>
                {user
                    ? <redirect to='/dashboard'></redirect>
                    : <redirect to='/login'></redirect>
                }
            </route>
            <route exact="" path='/login'>
                <login></login>
            </route>
            <route exact="" path='/dashboard'>
                <dashboard></dashboard>
            </route>
        </switch>
    </router>
)