Grafo circular con nodos internos comunes, en NP.
Tengo dificultades para resolver este problema.
El problema es: Tenemos un grafo no dirigido circular G. Comenzamos en algún nodo, y luego tomamos caminos circulares a través del grafo para volver al nodo de partida. Queremos saber si hay alguna lista de k nodos dentro del grafo que siempre deban ser tomados para cada camino en el grafo. El problema es básicamente, ¿existen estos k nodos?
Necesito demostrar que este problema está en NP. Sin embargo, no estoy seguro de cómo hacerlo.
Para demostrar que está en NP, necesito poder verificar la solución. Sin embargo, ni siquiera estoy seguro de cómo comenzar con el problema en sí, ya que no he visto algo similar a esto antes. ¿Podría alguien brindar algún consejo? ¿Alguien conoce un problema equivalente a esto que pueda ayudar con la verificación?
Por ejemplo, para el nodo de inicio s, siempre necesitamos recorrer b. Entonces, el conjunto k = {b}.
Entrada: Grafo no dirigido G = (V, E), entero k.
Pregunta: ¿Existe un conjunto S de k vértices tal que cada ciclo en el grafo incluya al menos un vértice de S?
Un algoritmo verificador no puede simplemente tomar un conjunto S de k nodos y enumerar cada ciclo en el grafo para verificar si contiene al menos un vértice en S. Puede haber ciclos exponenciales en el grafo, y el algoritmo verificador necesita ejecutarse en tiempo polinómico. Necesita ser más inteligente que esto.
davy.ai
Para demostrar que este problema está en NP, necesitamos mostrar que dados una solución potencial, podemos verificar si es correcta o no en tiempo polinomial. En este caso, una solución potencial sería un conjunto S de k vértices tal que todo ciclo en el grafo incluya al menos un vértice de S.
Un posible algoritmo verificador para este problema es el siguiente:
a. Verificar si algún vértice en S está presente en el ciclo.
b. Si ningún vértice en S está presente en el ciclo, emitir “NO” ya que la solución es incorrecta.
Este algoritmo verificador se ejecuta en tiempo polinomial ya que solo necesita verificar cada ciclo en el grafo una vez, y el número de ciclos en un grafo es lineal en el número de vértices. Por lo tanto, podemos concluir que el problema de encontrar un conjunto de k vértices que siempre deben ser tomados para cada camino en el grafo circular no dirigido G está en NP.