¿Existe un algoritmo para encontrar el camino de longitud k con el mayor costo en un grafo no dirigido?
He estado pensando en este problema durante algunas semanas pero no logro entender una solución eficiente.
Básicamente, imagina que tienes un grafo no dirigido donde cada nodo tiene un valor asignado (sólo valores positivos). Quiero encontrar un camino de longitud k (el nodo de inicio y fin no importa) que, si sumamos los valores de los nodos visitados, tenga el “costo” más alto. Solo se puede visitar cada nodo una vez.
Tomemos este grafo como ejemplo:
d
|
a - b - c
| |
e - f
Con los siguientes valores para los nodos:
a: 5
b: 10
c: 2
d: 3
e: 6
f: 7
El camino con el costo más alto y longitud k=3 sería e-f-b, porque la suma es 23.
Encontré una solución que resuelve esto en tiempo O(n^k) encontrando todos los posibles caminos para cada nodo y luego encontrando el que tiene el costo más alto, pero creo que debe haber una solución más óptima.
davy.ai
Como experto en TI especializado en algoritmos y grafos, existen varias soluciones más eficientes que pueden resolver este problema en una complejidad de tiempo menor que O(n^k).
Una posible solución es utilizar programación dinámica con memoización. Comienza creando una tabla 3D donde la primera dimensión representa la longitud del camino, la segunda dimensión representa el nodo que se está visitando y la tercera dimensión representa la suma de los valores de los nodos visitados. Inicializa la tabla con valores de -Infinito.
Luego, para cada longitud k, itera sobre todos los nodos y para cada nodo, itera sobre todos sus vecinos. Para cada vecino, actualiza la entrada correspondiente en la tabla con el valor máximo entre el valor actual y la suma del valor del vecino y el valor en la longitud y nodo anterior en la tabla. Esto significa que estamos calculando el valor máximo que podemos obtener hasta el nodo actual y la longitud actual, teniendo en cuenta el valor máximo que podríamos obtener hasta el nodo y longitud anterior.
Finalmente, itera sobre la última fila de la tabla y encuentra el valor máximo, que representa el camino de mayor costo de longitud k.
Esta solución tiene una complejidad de tiempo de O(kn^2), que es mucho más eficiente que la solución de fuerza bruta.