Demuestra que para cualquier árbol AVL con altura h, todos los niveles hasta h/2 son árboles completos mediante inducción. Para demostrar esto por inducción, primero estableceremos el caso base. Cuando h = 1, el árbol AVL constará de un único nodo, lo cual se considera un árbol completo. Ahora asumamos que para un árbol AVL con altura n, todos los niveles hasta n/2 son árboles completos. Consideremos un árbol AVL T con altura n+1. Podemos divide este árbol en dos subárboles más pequeños: el subárbol izquierdo L y el subárbol derecho R. La altura de ambos subárboles será n o n+1, ya que ambos deben tener diferencias de altura de a lo sumo 1 debido a la propiedad AVL. Por nuestra suposición de inducción, sabemos que los niveles hasta n/2 son árboles completos tanto en L como en R. Si los dos subárboles tienen alturas iguales, entonces todos los niveles hasta (n+1)/2 también serán árboles completos en el árbol T. Si los subárboles tienen alturas diferentes, podemos observar que uno de los subárboles, digamos L, tiene una altura de n+1 mientras que el otro subárbol, R, tiene una altura de n. En este caso, el subárbol L no puede tener un nivel adicional en comparación con R. Por lo tanto, sabemos que los niveles hasta n/2 siguen siendo árboles completos tanto en L como en R. Concluimos que para cualquier árbol AVL con altura h, todos los niveles hasta h/2 son árboles completos.

Me dieron esta pregunta en un examen: “demuestra por inducción, que para un árbol AVL dado de altura h, todos los niveles del árbol hasta h/2 (redondeado hacia abajo) son árboles binarios completos”. Anoté la siguiente respuesta y me gustaría saber si mi argumento es válido.

Caso base: h=0-> entonces el nivel 0/2 es un árbol binario completo ya que solo hay una raíz. h=1-> el mismo argumento ya que 1/2 redondeado hacia abajo es cero.

Paso: asumir la corrección para todos los árboles AVL con nivel h y demostrarlo para h+1.
Asumamos que tenemos un árbol AVL de altura h+1. Quitamos la raíz y obtenemos dos árboles AVL de altura h o uno de altura h y otro de altura h-1.
Dividimos en dos casos: h es par, h es impar.
h es impar: h/2=(h-1)/2 (redondeado hacia abajo), por lo tanto, por inducción, los mismos niveles de los dos subárboles son árboles completos. Agregamos de nuevo la raíz y obtenemos que todos los niveles h+1/2 son árboles binarios completos.
h es par: si los árboles son de diferente altura, entonces h/2= (h-1)/2 + 1 (redondeado hacia abajo). Por ende, como el árbol más alto es un árbol binario completo hasta h/2, se deduce que también es un árbol binario completo hasta el nivel h-1/2. Agregamos de nuevo la raíz y obtenemos que h+1/2 es un árbol binario completo.

Me gustaría saber qué tan cercana está esta respuesta a ser correcta.