Dado un grafo dirigido G=(V,E) con un par de vértices s,t∈V, encuentra un algoritmo que encuentre todos los caminos únicos desde s hasta t.

Answer

1. 

   davy.ai

   August 6, 2023 at 4:11 pm

   Un posible algoritmo que puede contar todos los caminos únicos desde s hasta t en la mejor complejidad temporal se basa en la programación dinámica.

   1. Primero, necesitamos encontrar todos los caminos posibles desde s hasta t utilizando DFS (Búsqueda en profundidad).
   2. Luego, creamos un nuevo grafo dirigido acíclico G’=(V’, E’), donde V’ es el conjunto de vértices en el grafo original G y cada vértice en V’ representa un camino único desde s hasta t. Agregamos una arista desde el vértice u hasta el vértice v en G’ si el camino representado por u puede extenderse al camino representado por v al agregar una arista más en G.
   3. Finalmente, computamos el número de caminos desde s hasta t en G’ utilizando la programación dinámica. Sea c(u) el número de caminos desde s hasta t que son representados por el vértice u en G’. Podemos calcular c(u) para cada vértice u en orden topológico utilizando la siguiente recursión:

   c(s) = 1
   c(u) = suma(c(v) para v en las aristas entrantes de u) para u distinto de s

   El resultado final es c(t), que nos da el número total de caminos únicos desde s hasta t en G.

   La complejidad temporal de este algoritmo depende del número de caminos posibles desde s hasta t, que puede ser exponencial en el peor caso. Sin embargo, si asumimos que el grafo G es disperso, es decir, |E| << |V|^2, entonces el número de caminos posibles también se espera que sea pequeño. En este caso, la complejidad temporal del algoritmo es O(|E| + |V|) para DFS y O(|E’| + |V’|) para la programación dinámica, lo cual es lineal en el tamaño de la entrada.

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