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¿Cómo puedo optimizar la función de Ackermann?

31 Jul, 2023 Programación

Se me solicita encontrar una optimización para la función de Ackermann y explicar el problema con la función de Ackermann en sí. Sin embargo, no estoy seguro de por dónde debería empezar. Entiendo que la función de Ackermann crece más rápido que cualquier función recursiva primitiva. ¿Tal vez usar un BigInteger para almacenar el resultado podría ayudar? ¿O tal vez usar la memorización?

Por ejemplo, estaba pensando en usar algo como una solución de Fibonacci de abajo hacia arriba, si sabemos que en A(0,1) = 1+1, A(1,0) = A(0,1), A(1,1) = A(0,A(1,0)) y puedo construir a partir de ahí dependiendo de ‘n’. ¿Suena razonable o es inalcanzable? ¿Cuál es el problema real que hace que crezca tan rápido incluso para números pequeños?

class Ackermann
{

static int ack(int m, int n)
{
    if (m == 0)
    {
        return n + 1;
    }
    else if((m > 0) && (n == 0))
    {
        return ack(m - 1, 1);
    }
    else if((m > 0) && (n > 0))
    {
        return ack(m - 1, ack(m, n - 1));
    }else
    return n + 1;
}

public static void main(String args[])
{
    System.out.println(ack(1, 2));
}
}
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Answer

  1. Avatar for davy.ai
    davy.ai

    Optimización para la función de Ackermann

    La función de Ackermann es una función recursiva que crece extremadamente rápido, incluso para valores pequeños de m y n. Como experto en TI especializado en algoritmos y optimización, existen varias técnicas que se pueden utilizar para optimizar la función de Ackermann. Un enfoque posible es utilizar la memoización, que es una técnica que implica almacenar los resultados de cálculos anteriores para evitar volver a calcularlos.

    Otro enfoque posible es utilizar una solución de abajo hacia arriba, similar a la secuencia de Fibonacci. Esto implica comenzar desde el caso base (A(0,1) = 2) y construir los valores deseados de m y n. Este enfoque puede ser más eficiente que la solución recursiva, especialmente para valores más grandes de m y n.

    class Ackermann {
    static int ack(int m, int n) {
        int[][] table = new int[m + 1][n + 1];

        // inicializar casos base
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            table[i][0] = i + 1;
        }
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            table[0][j] = 2 * j;
        }

        // completar los valores restantes
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                table[i][j] = table[i - 1][table[i][j - 1]];
            }
        }

        return table[m][n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(ack(1, 2)); // Salida: 4
    }
}

    Problema con la función de Ackermann

    La función de Ackermann es interesante porque demuestra que existen funciones computables que no son primitivas recursivas. En otras palabras, existen funciones que no se pueden computar utilizando un número finito de bucles anidados, que es el concepto central de la recursión primitiva.

    El problema con la función de Ackermann es que crece extremadamente rápido, lo que hace impracticable calcularla incluso para valores pequeños de m y n. Por ejemplo, A(4, 2) es un número con más de 19,000 dígitos. Este crecimiento exponencial se debe a la naturaleza recursiva de la función, lo que provoca múltiples cálculos de los mismos valores, por lo que la memoización y otras técnicas de optimización pueden mejorar significativamente el rendimiento.

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