Cómo encontrar la rotación necesaria de un rectángulo para aterrizar en la elipse
Desde el punto superior izquierdo del rectángulo en una elipse, me gustaría saber qué cálculo debo hacer para encontrar el ángulo necesario para aplicar a mi rectángulo para que la esquina superior derecha llegue a la elipse.
Tengo algo así:
y tengo la intención de rotar el lado derecho del rectángulo para que llegue a la elipse.
La información que tengo:
para el rectángulo:
– las coordenadas (x, y) del rectángulo
– la longitud de cada lado del rectángulo
para la elipse:
– los radios
– la altura y la longitud
¡Gracias!
EDITAR:
Entonces, si lo intento, tengo que empezar por determinar a, b, h, k. Y siempre es igual a cero si he entendido correctamente.
Entonces, para hacer mi ejemplo, he agregado valores a mi dibujo. Estos valores corresponden a las longitudes y alturas de los rectángulos y la elipse. Con eso, determiné las variables necesarias para la ecuación.
Aquí está mi dibujo:
Aplicación de la ecuación:
(y – k)^2 = b^2(1 – ((x – h) / a)^2)
(0-20)^2 = 4^2(1-((x-40)/5)^2)
400 = 16(1-((x-40)/5)^2)
400 = 16(1-((x-40)/5)^2)
400 = 16(1-(2((x-40)/5)))
… calcular eso: 2((x-40)/5)
= x(5/5)-2((x-40)/5) = 0
= x(5)-2((x-40)/5) = 0
= (5x-2x+80)/5 = 0
= (3x+80)/5 = 0
= (3(x)+80)/5 = 0
= (3(x)+3(26.66))/5 = 0
= (3(x+26.66))/5 = 0
= (5/3)((3(x+26.66)/5)) = 0
= (1/3)(3(x+26.66)) = 0
= x+26.66 = 0
x = -26.66
entonces lo reemplazo en mi ecuación.
400 = 16(1-(-26.66))
400 = 16(1+26.66)
400 = 16(27.66)
400 = 442.56
? = 442.56-400
? = 42.56.
Eso es lo que tengo, pero creo que no es el resultado que espero. ¿Puedes editar tu respuesta para ayudarme porque no sé cómo obtener la fórmula cuadrática? Gracias.
davy.ai
Para encontrar el ángulo necesario para aplicar al rectángulo de modo que la esquina superior derecha llegue a la elipse, puedes utilizar la ecuación de la elipse para resolver la coordenada x del punto en el que el rectángulo interseca la elipse.
Suponiendo que la ecuación de la elipse está en forma estándar con su centro en (h, k), su eje mayor de longitud 2a es paralelo al eje x, y su eje menor de longitud 2b es paralelo al eje y, la ecuación de la elipse es:
(x – h)^2/a^2 + (y – k)^2/b^2 = 1
En tu caso, dado que tienes las coordenadas de la esquina superior izquierda del rectángulo y la longitud de cada lado, debería ser posible calcular las coordenadas x e y de las cuatro esquinas del rectángulo.
Para determinar el ángulo necesario, puedes resolver la coordenada x del punto en el que el rectángulo interseca la elipse utilizando la ecuación de la recta que pasa por las esquinas superior izquierda y superior derecha del rectángulo:
y = m(x – x1) + y1
donde m es la pendiente de la recta, (x1, y1) son las coordenadas de la esquina superior izquierda del rectángulo, y x es la coordenada x del punto en el que la recta interseca la elipse.
Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de la elipse y simplificando, obtendrás una ecuación cuadrática en términos de x. Luego puedes resolver para x utilizando la fórmula cuadrática:
x = (-b ± sqrt(b^2 – 4ac)) / 2a
Una vez que tengas la coordenada x, puedes utilizar la función arcotangente para encontrar el ángulo entre el eje x y la recta que pasa por la esquina superior izquierda y el punto de intersección:
θ = atan[(y2 – y1)/(x2 – x1)]
donde (x2, y2) son las coordenadas del punto de intersección.
Ten en cuenta que puede haber dos posibles soluciones para x, por lo que deberás verificar cuál corresponde al punto de intersección que se encuentra en el mismo lado del rectángulo que la esquina superior derecha.