Algoritmo de programación dinámica para decidir si existe o no un árbol con la secuencia de hojas dada un conjunto de árboles binarios de altura 1.
Estoy intentando resolver el siguiente problema. No voy a mentir que es tarea. No estoy pidiendo la respuesta, pero al menos algunos consejos y cómo puedo empezar a pensar en el problema.
Se dice que un árbol binario con cada nodo etiquetado con un entero está etiquetado. Esboza un algoritmo de programación dinámica que resuelva el siguiente problema:
Dado: secuencia b1; …; bm de enteros y árboles binarios etiquetados T1; …; Tk de altura 1.
Decidir: si existe un árbol binario etiquetado que tenga como cada uno de sus subárboles de altura-1 algún Ti (con repeticiones permitidas) y que tenga b1; …; bm como etiquetas de sus hojas.
Se da el siguiente consejo:
Inspírate en el algoritmo de encadenamiento de matrices y piensa en una tabla que tenga como cada entrada un conjunto de enteros relacionados de alguna manera con una subsecuencia bi; …; bi+s.
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Consejos para Resolver el Problema de Árboles Binarios Etiquetados
Comprender el Problema
El problema establece que se nos da una secuencia de números enteros y árboles binarios etiquetados de altura 1. Debemos determinar si existe un árbol binario etiquetado tal que cada uno de sus subárboles de altura 1 sea uno de los árboles binarios dados, y sus hojas tengan la secuencia de números enteros dada.
Esbozando un Algoritmo de Programación Dinámica
Para resolver este problema, podemos crear un algoritmo de programación dinámica que use la memorización. Necesitamos descomponer el problema en subproblemas.
Sea T el conjunto de árboles binarios etiquetados T1; … ; Tk, y sea b la secuencia dada b1; … ; bm.
Podemos empezar creando una tabla de tamaño m x m, donde cada entrada (i,j) representa un conjunto de números enteros que corresponden a la subsecuencia bi; … ; bi+j.
Podemos llenar esta tabla de manera ascendente calculando cada entrada (i,j) recursivamente utilizando la siguiente fórmula:
Para cada k de i a i+j-1:
– Calcular el conjunto de números enteros que corresponden a la subsecuencia bi; … ; bk
– Calcular el conjunto de números enteros que corresponden a la subsecuencia bk+1; … ; bi+j
– Calcular el producto cartesiano de estos dos conjuntos
– Unir el resultado con el conjunto de números enteros que corresponden a los árboles binarios etiquetados en T
– Almacenar el conjunto resultante en la entrada (i,j)
Una vez que hemos calculado toda la tabla, podemos comprobar si el conjunto de números enteros de la entrada (1,m) contiene todos los números enteros de la secuencia b. Si lo hace, entonces existe un árbol binario etiquetado que satisface las condiciones del problema.
Reflexiones Finales
En resumen, este problema requiere que usemos la programación dinámica para calcular una tabla de subconjuntos de números enteros correspondientes a subsecuencias de la secuencia dada b. Luego, comprobamos si el conjunto de números enteros de la entrada final de la tabla contiene todos los números enteros de b. Siguiendo la pista dada en el problema, podemos inspirarnos en el algoritmo de encadenamiento de matrices y calcular la tabla utilizando un enfoque ascendente.