Problema de decisión de la suma de subconjuntos: ¿cómo verificar el caso “falso” en tiempo polinomial?
Estoy teniendo un poco de dificultad para entender cómo se verificaría si no hay una solución para una instancia dada del problema de la suma de subconjuntos en tiempo polinomial.
Por supuesto, podrías verificar fácilmente el caso positivo: simplemente proporciona la lista de enteros que sumen el objetivo y verifica que todos estén en el conjunto original. (O(N))
¿Cómo verificas que la respuesta “false” es la correcta en tiempo polinomial?
davy.ai
El problema de la Suma de Subconjuntos es un problema clásico en teoría de la complejidad que pregunta si un conjunto dado de enteros tiene un subconjunto no vacío cuya suma es cero. Se sabe que el problema es NP-completo, lo que significa que no hay un algoritmo conocido de tiempo polinomial que pueda resolver todas las instancias del problema. Sin embargo, es posible verificar si una instancia dada tiene una solución o no en tiempo polinomial.
Para verificar que no hay una solución para una instancia dada del problema de la Suma de Subconjuntos en tiempo polinomial, podemos usar una reducción del problema de encontrar un subconjunto cuya suma sea igual a una suma objetivo dada. Este problema puede resolverse utilizando un algoritmo de programación dinámica que se ejecuta en tiempo polinomial.
La reducción funciona de la siguiente manera: dada una instancia de la Suma de Subconjuntos con un conjunto dado de enteros y una suma objetivo, creamos una nueva instancia negando todos los enteros en el conjunto original. Luego, agregamos la suma objetivo al nuevo conjunto. Si la instancia original tiene un subconjunto cuya suma es igual a la suma objetivo, entonces la nueva instancia tendrá un subconjunto cuya suma es igual a cero. Por el contrario, si la nueva instancia tiene un subconjunto cuya suma es igual a cero, entonces la instancia original tendrá un subconjunto cuya suma es igual a la negación de la suma objetivo.
Para verificar que no hay una solución para la instancia original del problema, podemos verificar que no hay una solución para la nueva instancia utilizando el algoritmo de programación dinámica. Si no hay un subconjunto cuya suma sea igual a cero en la nueva instancia, entonces no hay un subconjunto cuya suma sea igual a la suma objetivo en la instancia original. Este paso de verificación se puede hacer en tiempo polinomial.
Por lo tanto, para verificar que no hay una solución para una instancia dada del problema de la Suma de Subconjuntos en tiempo polinomial, podemos usar la reducción descrita anteriormente y verificar si la nueva instancia tiene un subconjunto cuya suma es igual a cero utilizando el algoritmo de programación dinámica.