Algoritmo de tiempo lineal para el Árbol de Expansión Mínima (MST) dado |E|=99+|V|
Necesito crear un algoritmo lineal para encontrar un árbol de expansión mínima dado un grafo no dirigido, ponderado y conexo (sin vértices aislados) que tenga |V| vértices y |V|+99 aristas. Hasta ahora he intentado basarme en Kruskal y dividir y conquistar, pero no he tenido suerte. ¿Algún idea?
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Algoritmo Lineal para Encontrar un Árbol de Expansión Mínima
Para encontrar un árbol de expansión mínima en un grafo no dirigido, pesado y conectado sin vértices aislados, podemos utilizar el algoritmo de Kruskal. Sin embargo, para hacer este algoritmo lineal, podemos hacer algunas modificaciones.
Primero, necesitamos ordenar todas las aristas del grafo por peso en orden ascendente. Esto se puede hacer en tiempo O(|V|+|E|log|E|) utilizando un algoritmo de ordenamiento estándar como merge-sort o quick-sort.
A continuación, creamos una estructura de datos Union-Find para llevar un seguimiento de qué vértices están conectados entre sí. Podemos hacer esto en tiempo O(|V|).
Luego, iteramos a través de la lista ordenada de aristas, agregando cada arista al árbol de expansión mínima si no crea un ciclo. Podemos verificar los ciclos utilizando la estructura de datos Union-Find. Si los puntos finales de la arista no están en el mismo componente conectado, entonces agregamos la arista al árbol de expansión mínima y fusionamos los dos componentes conectados. Continuamos este proceso hasta que hayamos agregado |V|-1 aristas al árbol.
El tiempo total de ejecución de este algoritmo es O(|E|log|E| + |V|), lo cual es lineal cuando |E|=|V|+99. Por lo tanto, este algoritmo es eficiente para encontrar el árbol de expansión mínima en el grafo dado.