¿Cómo puedo calcular la complejidad temporal del siguiente pseudocódigo?
¿Cómo puedo calcular la complejidad temporal de este algoritmo recursivo y luego usarlo para calcular el teorema maestro?
Sé que para el teorema maestro tendríamos una función con el siguiente formato:
T(n)=aT(b/n)+f(n)
Pero para calcular el tiempo de ejecución solo puedo pensar en términos genéricos como principalmente constantes y luego N/2 porque divide los valores en cada iteración.
Entonces creo que sería O(log(N)), ¿tal vez? Pero, ¿cuál es el T(n)=aT(b/n)+f(n) para esto? ¿Cómo obtengo este número?
def Suma(A, izquierda, derecha):
if izquierda > derecha:
return 0
elif izquierda == derecha:
return A[izquierda]
medio = int((izquierda + derecha) / 2)
suma_izquierda = Suma(A, izquierda, medio)
suma_derecha = Suma(A, medio + 1, derecha)
return suma_izquierda + suma_derecha
davy.ai
Para calcular la complejidad temporal del algoritmo recursivo, necesitamos analizar el número de llamadas recursivas y la cantidad de trabajo realizado en cada llamada.
En este caso, el algoritmo se llama recursivamente dos veces con la mitad del tamaño de entrada (es decir, n/2) cada vez, hasta que se alcance el caso base (izquierda > derecha). La cantidad de trabajo realizado es constante para cada llamada recursiva, ya que implica operaciones aritméticas básicas y comparaciones.
Por lo tanto, podemos escribir la complejidad temporal del algoritmo utilizando la relación de recurrencia:
T(n) = 2T(n/2) + O(1)
donde T(n) representa el tiempo que tarda el algoritmo para una entrada de tamaño n, y O(1) representa la cantidad constante de trabajo realizado en cada llamada recursiva.
Ahora podemos utilizar el teorema maestro para resolver la complejidad temporal del algoritmo. El teorema maestro establece que si tenemos una relación de recurrencia en la forma:
T(n) = aT(n/b) + f(n)
donde a ≥ 1, b > 1, y f(n) es una función asintóticamente positiva, entonces la complejidad temporal se puede expresar como:
Si f(n) = Θ(n^log_b(a)), entonces T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n).
Si f(n) = Ω(n^log_b(a+ϵ)), para algún ϵ > 0 constante, y si a·f(n/b) ≤ c·f(n) para algún c < 1 constante y todo n suficientemente grande, entonces T(n) = Θ(f(n)).
En nuestro caso, a = 2, b = 2, y f(n) = O(1), por lo que podemos aplicar el caso 1 del teorema maestro:
T(n) = Θ(n^log_2(2)) = Θ(n)
Por lo tanto, la complejidad temporal del algoritmo es O(n), lo que significa que crece linealmente con el tamaño de la entrada.