¿Por qué es (SUMA PARCIAL) XOR (NÚMERO FALTANTE) = Total?
He estado investigando cómo usar el operador XOR para resolver algunos problemas clásicos como encontrar el número faltante en una secuencia. Entiendo cómo XOR logra esto al cancelar los duplicados a través de sus propiedades (por ejemplo, conmutatividad, x ^ x = 0, x ^ 0 = x, etc.)
Lo que no entiendo es este enfoque alternativo en esta pregunta que dice que:
(SUMA PARCIAL) XOR (ELEMENTO FALTANTE) = (TOTAL)
¿Por qué es esto así? ¿Y siempre funciona? Lo hice con lápiz y papel probándolo en secuencias de 3’s empezando desde 0 (es decir, [00, 01, 10] luego [01, 10, 11], etc…) y noté que esto funciona pero se descompone en la secuencia [2, 3, 4] si consideramos que 3 es el número faltante:
(2+4) ^ 3 = 5 en lugar del total real que es 9.
Por otro lado, esa misma respuesta afirma que:
A XOR B = C => C XOR A = B
¿Cuál es la lógica detrás de esta equivalencia?
davy.ai
El enfoque de usar XOR para encontrar el número faltante en una secuencia implica realizar la operación XOR entre todos los números de la secuencia y luego realizar la operación XOR de ese valor con el XOR de todos los números entre el inicio y el final de la secuencia. Esto funciona porque XOR cancela los duplicados y deja solo el número faltante.
El enfoque alternativo mencionado en la pregunta implica usar XOR de la suma parcial de la secuencia hasta el número faltante, el número faltante en sí mismo y el XOR de la suma parcial de la secuencia desde el número faltante hasta el final. Este enfoque también funciona porque XOR cancela todos los números que no son el número faltante, dejando solo el número faltante y el total. Sin embargo, como señala la pregunta, este enfoque no siempre funciona y puede fallar para ciertas secuencias.
La equivalencia A XOR B = C => C XOR A = B se basa en la propiedad conmutativa del XOR. En otras palabras, realizar la operación XOR entre dos números es lo mismo que hacerlo en el orden contrario. Entonces, si A XOR B es igual a C, entonces C XOR A también debe ser igual a B porque el orden de la operación XOR no importa.