MISDP/MISOCP en cvxpy.

Estoy tratando de resolver el siguiente problema en CVXPY.

El problema es un SDP entero mixto debido a la matriz PSD que estamos resolviendo. Sin embargo, según esta lista parece que ninguno de los solucionadores puede manejar dicho problema.

¿Podemos usar el hecho de que A es una matriz de 2×2 para convertir esto de alguna manera en un problema SOCP entero mixto?

import cvxpy as cp
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

np.random.seed(271828) 
m = 2; n = 50
x = np.random.randn(m,n)

off = cp.Variable(boolean=True)

A = cp.Variable((2,2), PSD=True)
b = cp.Variable(2)
obj = cp.Maximize(cp.log_det(A))
constraints = [ cp.norm(A@x[:,i] + b) <= 1 + 20*off for i in range(n) ]
constraints += [cp.sum(off) <= 20]

prob = cp.Problem(obj, constraints)
optval = prob.solve(solver='XPRESS', verbose=False) # parece funcionar, aunque no es muy preciso

print(f"Valor óptimo: {optval}")

# graficar la elipse y los datos
angles = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
rhs = np.row_stack((np.cos(angles) - b.value[0], np.sin(angles) - b.value[1]))
ellipse = np.linalg.solve(A.value, rhs)

plt.scatter(x[0,:], x[1,:])
plt.plot(ellipse[0,:].T, ellipse[1,:].T)
plt.xlabel('Dimensión 1'); plt.ylabel('Dimensión 2')
plt.title('Elipsoide de Volumen Mínimo')
plt.show()